À toutes les tables où j'ai travaillé, il y avait un afficheur avec les quinze ou vingt derniers numéros sortis. Et à toutes les tables, la même scène : une colonne de noirs qui s'allonge, des joueurs qui se rapprochent, et quelqu'un qui finit par demander « ça fait combien, là ? ». Comme si le compte changeait quelque chose à ce qui allait suivre.
Les probabilités de la roulette sont les plus simples de tout le casino : 37 cases, une bille, une division. Elles sont aussi les plus mal comprises, parce que tout le monde connaît la probabilité du prochain tour et que presque personne ne sait raisonner sur une soirée entière. Cette page fait les deux. Elle donne la probabilité de chaque mise et de chaque annonce, puis elle s'attaque à ce qui occupe vraiment les joueurs de roulette : les séries, leur fréquence réelle, et ce qu'elles annoncent pour la suite. C'est-à-dire rien.
Le calcul tient en une division
Une roulette européenne ou française a 37 cases : les numéros 1 à 36, et le zéro. Chaque case a exactement la même chance de recevoir la bille. La probabilité d'une mise est donc le nombre de cases qu'elle couvre, divisé par 37. La roulette américaine ajoute un double zéro : on divise par 38, et toutes les probabilités baissent un peu. Les types de roulette ne diffèrent, côté chances de sortie, que par ce dénominateur.
| Mise | Paiement | Probabilité, roulette européenne | Soit une fois tous les | Probabilité, roulette américaine |
|---|---|---|---|---|
| Numéro plein | 35 contre 1 | 2,70 % | 37,0 tours | 2,63 % |
| Cheval (deux numéros) | 17 contre 1 | 5,41 % | 18,5 tours | 5,26 % |
| Transversale pleine (trois numéros) | 11 contre 1 | 8,11 % | 12,3 tours | 7,89 % |
| Carré (quatre numéros) | 8 contre 1 | 10,81 % | 9,2 tours | 10,53 % |
| Sixain (six numéros) | 5 contre 1 | 16,22 % | 6,2 tours | 15,79 % |
| Douzaine ou colonne | 2 contre 1 | 32,43 % | 3,1 tours | 31,58 % |
| Chance simple : rouge ou noir, pair ou impair, manque ou passe | 1 contre 1 | 48,65 % | 2,1 tours | 47,37 % |
| Deux douzaines à la fois | 1 contre 2 | 64,86 % | 1,5 tours | 63,16 % |
Deux remarques sur ce tableau. Le rouge n'est pas à une chance sur deux : il est à 18 sur 37, et l'écart de 1,35 point avec 50 %, c'est la moitié du zéro. Le noir porte l'autre moitié. Ensuite, la colonne « une fois tous les » est une moyenne, pas un calendrier. Un numéro plein sort une fois tous les 37 tours en moyenne, ce qui ne veut pas dire qu'il sortira dans les 37 prochains. J'y reviens, c'est l'erreur la plus coûteuse de cette page.
Si les mises elles-mêmes ne vous sont pas familières, elles sont décrites une par une dans les règles de la roulette.
La probabilité ne dit pas ce que vaut la mise
Regardez la colonne des paiements à côté de celle des probabilités. Un plein sort une fois sur 37 et paie 35 contre 1, alors qu'un jeu équitable paierait 36. Une douzaine sort 12 fois sur 37 et paie 2 contre 1, au lieu de 2,08. Toutes les mises sont payées comme si le cylindre avait 36 cases, et c'est de là que vient l'avantage de la maison : 2,7 % sur toutes les mises de la roulette européenne, sans exception.
La conséquence est contre-intuitive. Vous pouvez choisir votre probabilité de gagner presque librement, de 2,7 % sur un plein à 94,6 % en couvrant 35 numéros. Vous ne pouvez pas choisir ce que chaque euro misé vous coûte en moyenne : c'est l'espérance de gain, et elle est la même partout sur le tapis. Une probabilité élevée n'est pas une bonne mise, c'est une mise qui perd plus rarement et plus gros.
Les annonces : voisins, tiers, orphelins
Sur les tables françaises, une partie des mises ne se pose pas sur le tapis, elle s'annonce au croupier. Ces annonces couvrent des secteurs du cylindre, c'est-à-dire des numéros voisins sur la roue, et non sur le tapis.
| Annonce | Numéros couverts | Jetons nécessaires | Probabilité de gagner |
|---|---|---|---|
| Voisins du zéro | 17 | 9 | 45,95 % |
| Tiers du cylindre | 12 | 6 | 32,43 % |
| Orphelins | 8 | 5 | 21,62 % |
| Jeu zéro | 7 | 4 | 18,92 % |
Les trois premières se partagent le cylindre entier : 17 + 12 + 8 = 37. Les voisins du zéro gagnent presque aussi souvent qu'une chance simple, mais pas le même montant selon le numéro qui sort : 15 jetons de gain net sur le 0, le 2 ou le 3, 9 jetons sur les quatorze autres, et 9 jetons perdus le reste du temps. Faites le compte, vous retrouverez 9 jetons multipliés par 1/37. Une annonce est un assemblage de chevaux, de carrés et de pleins, et son espérance est la somme des leurs.
Gagner au moins une fois : le calcul qui trompe
« Mon numéro n'est pas sorti depuis 37 tours, il est en retard. » Pour juger cette phrase, il faut savoir calculer la probabilité qu'un événement arrive au moins une fois en plusieurs tours. On passe par son contraire : la probabilité qu'il n'arrive jamais.
Un plein ne sort pas 36 fois sur 37. Il ne sort pas deux fois de suite (36/37)², et ainsi de suite. En 37 tours, il ne sort jamais (36/37)³⁷, soit 36,3 %. Votre numéro a donc 63,7 % de chances de sortir au moins une fois en 37 tours, et plus d'une chance sur trois de ne pas sortir du tout. Il faut 26 tours pour dépasser une chance sur deux, et après 100 tours il reste encore 6,5 % de chances qu'on ne l'ait pas vu.
Le même calcul explique une observation que les joueurs de roulette appellent la loi du tiers. Sur 37 tours, on ne voit pas sortir les 37 numéros : on en voit en moyenne 23,6, dont plusieurs à deux ou trois reprises, et 13,4 ne sortent pas. À peu près un tiers du cylindre reste muet, à chaque fois. Ce n'est pas une anomalie à exploiter, c'est exactement ce que donne le hasard quand les tirages sont indépendants. Les numéros absents n'ont aucune dette, les numéros répétés aucune avance.
La bille n'a pas de mémoire
Voici le cœur de la page. Chaque lancer est indépendant des précédents. Le cylindre tourne dans un sens, la bille dans l'autre, elle rebondit sur les losanges de la cuvette et sur les séparations des cases : rien dans ce mécanisme ne conserve la trace du tour d'avant. Les cylindres sont vérifiés et mis à niveau justement pour ça.
Vingt-six, parce que c'est arrivé. Au casino de Monte-Carlo, en août 1913, le noir est sorti vingt-six fois de suite, et l'histoire est restée pour ce que les joueurs ont fait ce soir-là : ils ont misé de plus en plus gros sur le rouge, à chaque tour, convaincus qu'il ne pouvait plus tarder. La probabilité d'une telle série, annoncée à l'avance, est de 1 sur 137 millions. Mais après le vingtième noir, la probabilité du rouge était de 48,65 %, comme au premier tour de la soirée.
C'est ce que les mathématiciens appellent l'erreur du joueur, et la page sur les probabilités au casino explique pourquoi notre cerveau y tient autant. Le piège est de confondre deux questions. « Quelle est la probabilité de voir dix noirs de suite ? » : très faible. « Dix noirs viennent de sortir, quelle est la probabilité du rouge ? » : 48,65 %. La série rare est déjà derrière vous. Il ne reste qu'un tour ordinaire.
Les séries : rares à l'instant, banales sur une soirée
Les séries méritent mieux que « c'est le hasard ». Il y a deux questions, et les joueurs ne posent que la première.
La première : quelle est la probabilité que la série commence maintenant ? On multiplie. Votre couleur sept fois de suite sur les sept prochains tours : (18/37)⁷, soit 1 chance sur 155. Votre couleur absente pendant sept tours : (19/37)⁷, soit 1 sur 106. La seconde est plus probable parce que le zéro joue contre vous dans les deux cas : il casse vos séries gagnantes et prolonge vos séries perdantes.
La seconde : quelle est la probabilité de croiser cette série au moins une fois dans la soirée ? C'est une tout autre affaire, parce qu'une soirée de trois heures compte 135 tours à peu près, et que la série peut commencer à n'importe lequel d'entre eux.
| Longueur de la série | Votre couleur sort n fois de suite | Vue au moins une fois en 135 tours | Votre couleur ne sort pas pendant n tours | Subie au moins une fois en 135 tours |
|---|---|---|---|---|
| 3 tours | 1 sur 9 | plus de 99,9 % | 1 sur 7 | plus de 99,9 % |
| 5 tours | 1 sur 37 | 86,5 % | 1 sur 28 | 92,2 % |
| 7 tours | 1 sur 155 | 35,7 % | 1 sur 106 | 46,0 % |
| 10 tours | 1 sur 1 347 | 4,7 % | 1 sur 784 | 7,6 % |
| 15 tours | 1 sur 49 424 | 0,1 % | 1 sur 21 965 | 0,3 % |
| 20 tours | 1 sur 1 813 779 | moins de 0,1 % | 1 sur 615 124 | moins de 0,1 % |
Lisez la ligne des sept tours. Un événement qui n'a qu'une chance sur 106 de commencer au prochain tour a presque une chance sur deux de se produire dans la soirée.
Ce chiffre est celui qui manque à tous les joueurs de progressions. Sept pertes de suite, c'est exactement ce qui fait sauter une martingale à 5 € sur une table plafonnée à 500 €. Le joueur raisonne sur le « 1 sur 106 », qui est juste, et en conclut que la série est lointaine. Elle arrive en moyenne tous les 216 tours, moins de cinq heures de table. Toutes les stratégies de roulette fondées sur l'attente d'un retournement butent sur ce tableau : les séries longues ne sont pas des accidents, elles font partie du fonctionnement normal d'une roulette, et elles ne préviennent pas.
Le calculateur ci-dessous refait ces calculs pour la série, la longueur, la durée et la roulette de votre choix. Il garde une ligne qui ne change jamais, et c'est volontaire.
Sur les 7 prochains tours
1 sur 106
0,94 %
Au moins une fois en 135 tours
46,0 %
Attente moyenne avant la première
216 tours
environ 5 heures
Probabilité de votre couleur au prochain tour, quelle que soit la série en cours : 48,65 %
Une précision sur la troisième option du calculateur, « la même couleur, rouge ou noir ». Sept fois la même couleur, n'importe laquelle, se voit dans 59 % des soirées de 135 tours. C'est pour ça qu'une salle voit passer chaque soir une série « incroyable » à l'une de ses tables : avec six roulettes ouvertes, il serait incroyable qu'il n'y en ait pas.
Ce que ces chiffres permettent, et ce qu'ils ne permettent pas
Ils permettent de choisir la forme de votre soirée. Une chance simple gagne presque un tour sur deux et fait bouger votre solde lentement. Un plein perd 36 fois sur 37 et peut traverser cent tours sans rien payer. Le coût moyen est le même, le trajet n'a rien à voir, et c'est à vous de savoir lequel vous supportez. La roulette française est le seul cas où le choix de la table change aussi le coût, grâce au partage sur les chances simples.
Ils ne permettent pas de prévoir un tour. Aucun historique, aucun retard, aucune série ne modifie la probabilité du lancer suivant, et tout ce qui se vend comme méthode de prévision repose sur l'idée inverse. Le plus simple pour s'en convaincre est d'essayer sans argent : le simulateur de roulette joue mille tours en quelques secondes, et il affiche les séries au passage. Cherchez-y la septième perte de suite. Vous n'attendrez pas longtemps.
Questions fréquentes
Quelle est la probabilité de tomber sur le rouge à la roulette ? 18 chances sur 37 à la roulette européenne ou française, soit 48,65 %, et 18 sur 38 à la roulette américaine, soit 47,37 %. Le noir a exactement la même probabilité. Le reste, 2,7 % ou 5,26 %, appartient au zéro et au double zéro.
Quelle est la probabilité de tomber sur un numéro précis ? 1 sur 37, soit 2,70 %, à la roulette européenne, et 1 sur 38, soit 2,63 %, à l'américaine. Sur 37 tours, un numéro donné a 63,7 % de chances de sortir au moins une fois, et donc 36,3 % de ne pas sortir du tout.
Quelle est la probabilité d'avoir dix fois la même couleur de suite ? Pour une couleur choisie à l'avance, (18/37)¹⁰, soit 1 sur 1 347. Pour dix rouges ou dix noirs indifféremment, 1 sur 673. Sur 1 000 tours, on croise au moins une fois dix couleurs identiques de suite dans 53 % des cas.
Après une série de noirs, le rouge a-t-il plus de chances de sortir ? Non. La probabilité du rouge reste de 48,65 % à chaque tour, quelle que soit la longueur de la série qui précède. Les tours sont indépendants : la bille et le cylindre ne gardent aucune trace des résultats passés.
Quelle mise a le plus de chances de gagner à la roulette ? Parmi les mises simples, les chances simples, à 48,65 %. On peut monter plus haut en combinant des mises, deux douzaines à 64,86 % par exemple, mais le gain diminue dans la même proportion et l'espérance ne change pas : −2,7 % de ce que vous misez.
Le zéro sort-il plus souvent que les autres numéros ? Non, il sort 1 fois sur 37 comme n'importe quelle case. Il se remarque davantage parce qu'il fait perdre presque toutes les mises d'un coup. Sur 100 tours, la probabilité de ne pas le voir une seule fois est de 6,5 %.
Les probabilités sont-elles les mêmes à la roulette en ligne ? Oui, à nombre de cases égal. Une roulette en direct utilise un vrai cylindre filmé, une roulette automatique utilise un générateur de nombres aléatoires certifié qui reproduit les mêmes 37 ou 38 issues équiprobables. Ce qui change en ligne, c'est le nombre de tours par heure.
Probabilités exactes pour un cylindre équilibré : 37 cases en roulette européenne et française, 38 en américaine. Séries : « votre couleur » désigne n'importe quelle chance simple (18 cases) ; la probabilité d'au moins une série en 135 tours et l'attente moyenne sont calculées par chaîne de Markov et contrôlées par simulation. Une soirée : trois heures à 45 tours par heure. Nombre moyen de numéros distincts en 37 tours : 37 × (1 − (36/37)³⁷). La série de vingt-six noirs de Monte-Carlo, le 18 août 1913, est rapportée par de nombreux ouvrages sur le hasard.
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