Espérance de gain : le calcul qui rend toutes les méthodes de mise inutiles

En douze ans, aucun joueur ne m'a demandé l'espérance de gain d'une mise. On me demandait combien ça payait. La réponse était imprimée sur le tapis : 35 contre 1 pour un numéro plein, 2 contre 1 pour une douzaine. L'autre moitié du calcul, la probabilité que ça arrive, n'était affichée nulle part.

L'espérance de gain, c'est ce qu'on obtient quand on remet les deux moitiés ensemble : ce qu'une mise paie, multiplié par ses chances de payer, moins ce qu'elle coûte le reste du temps. C'est la notion sur laquelle reposent toutes les probabilités du casino, et c'est la seule dont vous avez besoin pour juger un jeu, une mise ou une méthode. Le calculateur juste au-dessus la donne pour les principales mises de la salle. Cette page explique comment la calculer vous-même, ce qu'elle dit, ce qu'elle ne dit pas, et pourquoi sa propriété la plus simple règle le sort de toutes les méthodes de mise.

La définition, en une ligne

L'espérance de gain d'une mise est la moyenne de ses résultats possibles, chacun pesé par sa probabilité.

Espérance = (probabilité du résultat 1 × gain du résultat 1) + (probabilité du résultat 2 × gain du résultat 2) + …

Une perte est un gain négatif. Pour 10 € sur le rouge à la roulette européenne, il y a deux résultats : le rouge sort, 18 cases sur 37, et vous gagnez 10 € ; autre chose sort, 19 cases sur 37, et vous perdez 10 €.

10 × 18/37 − 10 × 19/37 = −10/37, soit −0,27 €.

Vous ne perdrez jamais 27 centimes à un tour de roulette. Vous gagnerez 10 € ou vous en perdrez 10. L'espérance ne décrit pas le prochain tour, elle décrit la moyenne de tous les tours, et c'est pour ça qu'elle intéresse le casino bien plus que le joueur.

Le mot a plus de trois siècles. Huygens, qui a posé la notion en 1657 dans un traité sur les jeux de dés, la définissait comme le juste prix auquel un joueur accepterait de céder sa place dans la partie. Je n'ai pas trouvé de meilleure façon de le dire : votre place devant 10 € posés sur le rouge vaut 9,73 €. Vous l'avez payée 10.

Trois cas, et trois seulement. Espérance nulle : le jeu est équitable, personne n'a d'avantage. Espérance positive : le jeu est favorable au joueur. Espérance négative : il est favorable à celui qui l'organise. Tous les jeux d'une salle de casino sont dans le troisième cas, et l'écart par rapport à zéro, exprimé en pourcentage de la mise, s'appelle l'avantage de la maison.

Probabilité de gagner et espérance de gain ne disent pas la même chose

C'est la confusion la plus répandue, et elle est naturelle : on sent bien ses chances de gagner, on ne sent pas une moyenne pondérée.

Posez 1 € sur 35 des 37 numéros du tapis. Vous gagnez si l'un des 35 sort : le numéro gagnant vous paie 35 €, vous perdez les 34 autres jetons, il vous reste 1 € de gain. Vous perdez 35 € si l'un des deux numéros découverts sort.

Le calcul : 1 × 35/37 − 35 × 2/37 = −35/37, soit −0,95 €. Vous gagnez presque à chaque tour, et vous perdez presque un euro par tour en moyenne. Les deux phrases sont vraies en même temps. La première décrit la fréquence des bons moments, la seconde décrit l'état de votre portefeuille à la fin du mois.

Une probabilité de gagner élevée ne dit donc rien de la valeur d'une mise. Elle dit seulement comment la perte sera distribuée : souvent et petite, ou rare et grosse. La suite de cette page revient sur ce point, parce que c'est lui qui rend les méthodes de mise si convaincantes.

L'espérance de gain, jeu par jeu

Voici le calcul fait pour les principales mises, ramené à 1 € misé. Les deux dernières colonnes sont expliquées plus bas ; pour l'instant, lisez la quatrième.

Regardez les cinq premières lignes. La probabilité de gagner va de 2,7 % à 48,65 %, le paiement de 35 contre 1 à 1 contre 1, et l'espérance ne bouge pas d'un dix-millième. Ce n'est pas un hasard : les paiements de la roulette ont été fixés comme si le cylindre avait 36 cases, et il en a 37. Chaque mise paie donc exactement un trente-septième de moins que ce qu'elle devrait. Je détaille ce mécanisme mise par mise dans les probabilités de la roulette.

La roulette française fait exception sur les chances simples : quand le zéro sort, la règle du partage vous rend la moitié de la mise, et l'espérance est divisée par deux. La roulette américaine ajoute un double zéro sans changer les paiements, et l'espérance double dans l'autre sens.

Le blackjack n'a pas de formule en une ligne, parce que son espérance dépend de ce que vous faites de vos cartes. Le chiffre du tableau suppose que vous jouez chaque main selon le tableau de stratégie de base. Un joueur qui se contente d'imiter le croupier, en tirant jusqu'à 17 sans jamais doubler ni partager, est à −0,057 € par euro misé : il a transformé le meilleur jeu de la salle en roulette américaine.

Pour les machines à sous, l'espérance se lit directement dans le taux de retour : un RTP de 96 % veut dire −0,04 € par euro misé. Ce que le RTP ne dit pas, et qui remplit la colonne suivante, fait l'objet de la page sur le RTP et la volatilité.

L'espérance s'additionne, et c'est ce qui condamne les méthodes de mise

Voici la propriété qui m'a fait écrire cette page. L'espérance d'une somme de mises est la somme de leurs espérances. Toujours, sans condition, que les mises soient posées au même tour ou sur dix soirées, qu'elles soient égales ou non, qu'elles dépendent ou non de ce qui s'est passé avant.

Au même tour, d'abord. Vous posez 10 € sur le rouge, 5 € sur la première douzaine et 1 € sur le 17. Trois espérances : −0,27 €, −0,135 € et −0,027 €. Total : −0,43 €, soit exactement 16 € multipliés par 1/37. Les mises se recouvrent, se compensent, se protègent l'une l'autre autant que vous voulez : ça change la fréquence de vos gains, pas leur moyenne.

Dans le temps, ensuite, et c'est là que vivent les méthodes. Prenons le Paroli, que je recommande pourtant comme la moins dangereuse des progressions dans les stratégies de roulette : 10 € sur le rouge, et on laisse tout sur la table après chaque gain, jusqu'à trois gains d'affilée.

Espérance de la séquence : 70 × 0,1151 − 10 × 0,8849 = 8,06 − 8,85 = −0,79 €.

Maintenant, comptons ce que vous avez misé en moyenne. Les 10 € du premier tour, toujours. Les 20 € du deuxième, une fois sur deux à peu près (48,65 %). Les 40 € du troisième, quand les deux premiers ont gagné (23,67 %). Total : 10 + 9,73 + 9,47 = 29,20 €. Et 29,20 € divisés par 37, c'est 0,79 €.

Le même chiffre, au centime. Le Paroli n'a rien créé et rien détruit : il vous a fait miser 29,20 € en moyenne, et le casino a pris son trente-septième dessus. Refaites l'exercice avec n'importe quelle progression, d'Alembert, Fibonacci, Labouchère, vous retomberez sur la même égalité. La page sur la martingale fait le calcul complet pour la plus célèbre d'entre elles, et il tombe juste aussi.

La raison tient en une phrase : vous décidez de votre mise avant que la bille tombe. Votre méthode peut regarder tout l'historique qu'elle veut pour choisir un montant. Une fois ce montant posé, il est soumis à un tour de roulette qui ne connaît pas l'historique, et il perd un trente-septième en moyenne. Une méthode de mise est une manière de choisir des montants. Elle n'a accès à rien d'autre. Elle peut donc changer combien vous misez au total, jamais ce que chaque euro misé vous coûte.

Ce que l'espérance ne dit pas : l'écart-type

Si l'espérance disait tout, personne ne sortirait jamais gagnant d'un casino, et j'ai payé assez de gros gains pour savoir que ça arrive tous les soirs. Ce qui manque à l'espérance, c'est la mesure de ce que la chance peut faire bouger autour de la moyenne. Elle s'appelle l'écart-type, et c'est la racine carrée de la variance, elle-même moyenne des carrés des écarts à l'espérance.

Pour 1 € sur une chance simple, l'écart-type vaut 1 €. Comparez avec l'espérance : moins de 3 centimes. Sur un tour, la chance pèse 37 fois plus lourd que l'avantage de la maison. Voilà pourquoi une soirée de casino ne ressemble pas du tout à son espérance.

Mais les deux ne grandissent pas à la même vitesse. L'espérance s'additionne : sur 100 tours, elle est 100 fois plus grande. Les écarts-types, eux, ne s'additionnent pas, ce sont les variances qui le font : sur 100 tours, l'écart-type n'est que 10 fois plus grand, la racine carrée de 100. La perte moyenne avance au pas, la chance avance à la racine du pas, et la première finit forcément par rattraper la seconde.

C'est la dernière colonne du tableau, que j'appelle le point de bascule : le nombre de coups où la perte moyenne devient égale à l'écart-type. Avant, c'est la chance qui écrit l'histoire de vos soirées. Après, c'est l'espérance. À 10 € le tour sur une chance simple, les deux valent 370 € au 1 368e tour.

Deux lectures de cette colonne. Le numéro plein bascule à 46 656 coups, trente-quatre fois plus tard que le rouge : même espérance, mais une chance qui pèse beaucoup plus longtemps, dans les deux sens. Et la roulette américaine bascule à 360 coups sur les chances simples, une seule longue soirée. Un jeu se juge sur les deux colonnes à la fois, et c'est tout l'objet de la gestion de bankroll : l'espérance fixe le prix de la soirée, l'écart-type fixe ce qu'il faut avoir en poche pour la finir.

Un usage pratique : calculer le prix d'un bonus

L'addition des espérances sert aussi en dehors de la salle. Un casino en ligne vous offre 100 € de bonus, à rejouer 35 fois avant de pouvoir retirer. Vous devez donc miser 3 500 €. Sur des machines à 96 % de RTP, l'espérance de ces 3 500 € est de −140 €. Le bonus en vaut 100. Inutile de savoir sur quelles machines, dans quel ordre ni avec quelles mises : l'espérance s'additionne, le total suffit.

Au blackjack en stratégie de base, les mêmes 3 500 € ne coûteraient que 17,50 €, et le bonus serait une bonne affaire. C'est exactement pour ça que beaucoup de conditions de bonus excluent le blackjack ou ne comptent ses mises que pour 10 % : il faut alors miser 35 000 €, et l'espérance retombe à −175 €. Ceux qui rédigent ces conditions connaissent cette page par cœur.

Quand l'espérance de gain devient positive

Rarement, et jamais par une méthode de mise. Il faut changer la probabilité elle-même, pas le montant posé dessus.

Au blackjack, les cartes sorties ne reviennent pas avant le mélange. Quand il reste beaucoup de figures et d'As dans le sabot, l'espérance de la main suivante passe au-dessus de zéro, et le comptage des cartes consiste à repérer ces moments pour miser davantage à ce moment-là. C'est la seule technique de la salle qui agit sur le bon terme de la formule.

Au poker, vous ne jouez pas contre le casino mais contre les autres joueurs, et la maison se paie par un prélèvement sur les pots. L'espérance d'un joueur dépend alors de son niveau par rapport à la table : positive pour quelques-uns, négative pour la majorité, et négative en moyenne pour tous, du montant du prélèvement.

Partout ailleurs, le signe est fixé par les règles du jeu avant que vous vous asseyiez. Ça n'interdit pas de jouer. Ça permet de savoir ce que coûte la soirée : le total que vous comptez miser, multiplié par l'espérance du jeu. Essayez dans le calculateur avec vos mises habituelles et votre nombre de tours habituel. Le chiffre qui sort est le prix de la place.

Questions fréquentes

Comment calculer l'espérance de gain ? Listez tous les résultats possibles de la mise, multipliez le gain de chacun par sa probabilité, en comptant les pertes comme des gains négatifs, et additionnez. Pour 1 € sur un numéro plein à la roulette européenne : 35 × 1/37 − 1 × 36/37 = −1/37, soit −0,027 €.

Que signifie une espérance de gain négative ? Qu'en moyenne, sur un grand nombre de coups, la mise vous coûte de l'argent. Une espérance de −0,027 € par euro veut dire 2,70 € perdus en moyenne pour 100 € misés. Ce n'est pas une prédiction pour le prochain coup, c'est la pente de la courbe sur la durée.

Qu'est-ce qu'un jeu équitable ? Un jeu dont l'espérance de gain est nulle pour tous les participants : pile ou face à 1 € contre 1 €, par exemple. Aucun jeu de casino n'est équitable, puisque l'espérance négative du joueur est le revenu de la maison. Une roulette sans zéro le serait.

Quelle est l'espérance de gain à la roulette ? −2,7 % de la mise à la roulette européenne, quelle que soit la mise choisie. −1,35 % sur les chances simples de la roulette française avec partage. −5,26 % à la roulette américaine, et −7,89 % sur sa mise à cinq numéros.

Quelle différence entre espérance de gain et probabilité de gagner ? La probabilité de gagner dit à quelle fréquence vous gagnez, l'espérance dit combien vous gagnez ou perdez en moyenne. On peut gagner 94,6 % du temps avec une espérance négative, en couvrant 35 numéros à la roulette, parce que la perte rare est bien plus grosse que le gain fréquent.

L'espérance de gain peut-elle être positive au casino ? Pour le joueur, dans de très rares cas : le comptage des cartes au blackjack, un joueur de poker meilleur que sa table, ou un bonus dont les conditions de mise coûtent moins que sa valeur. Aucune progression de mises ne rend positive une espérance négative.

À quoi sert l'écart-type si l'espérance est déjà connue ? À savoir à quelle distance de l'espérance vos résultats réels peuvent tomber. Deux mises de même espérance, le rouge et le numéro plein, donnent des soirées sans rapport. L'écart-type grandit comme la racine carrée du nombre de coups, l'espérance comme le nombre de coups lui-même.

Calculs pour 1 € misé. Roulette : espérance, variance et écart-type exacts, tirés des probabilités et des paiements de chaque mise ; partage du zéro à la moitié de la mise en roulette française. Point de bascule : variance divisée par le carré de l'espérance, arrondi à l'entier supérieur. Blackjack : simulation de 4,5 millions de mains en stratégie de base (six jeux, le croupier reste sur 17 souple, doubler après partage autorisé, pas d'abandon, blackjack payé 3 contre 2), qui donne un écart-type de 1,16 et une espérance entre −0,4 % et −0,5 %, arrondie à −0,5 % comme sur le reste du site. Machines à sous : les éditeurs ne publient pas la variance de leurs jeux ; les écarts-types de 8 et 15 sont des ordres de grandeur, pas des mesures. Une trentaine d'heures pour 1 368 tours : à 45 tours par heure.