Pendant douze ans, j'ai vu des joueurs arriver à ma table avec un billet et repartir au bout de vingt minutes, et d'autres arriver avec le même billet et jouer toute la soirée. La différence ne tenait presque jamais à la chance. Elle tenait à une division que personne ne faisait : leur budget divisé par leur mise.
La gestion de bankroll, c'est cette division, et deux ou trois autres. Ce n'est pas une méthode pour gagner, et je me méfie des pages qui la présentent comme ça. Les probabilités du casino ne laissent aucune place au doute : aucune façon de gérer son argent ne change ce que le jeu vous coûte. En revanche, votre bankroll décide de combien de temps vous jouez, de la probabilité de finir la soirée, et du moment où vous partez. Ce sont trois choses qui comptent, et elles se calculent.
Ce que la bankroll change, et ce qu'elle ne change pas
Commençons par ce qu'elle ne change pas. Ce que vous perdez en moyenne sur une soirée se calcule en une ligne : l'avantage de la maison, multiplié par votre mise, multiplié par le nombre de coups. Votre bankroll n'apparaît nulle part dans cette formule.
Trois heures de roulette européenne à 5 € sur le rouge, c'est 150 tours à cinquante tours par heure, et une perte moyenne de 20,27 €. Que vous soyez venu avec 200 € ou avec 1 000 €, c'est le même prix. La page sur l'avantage de la maison montre pourquoi ce prix se calcule sur ce que vous faites tourner, et jamais sur ce que vous apportez.
Ce que la bankroll change, c'est la probabilité d'arriver au bout. Avec 200 € à 5 € la mise, soit 40 mises, vous finissez vos trois heures 997 fois sur 1 000. Avec 50 €, soit dix mises, vous les finissez un peu moins d'une fois sur deux. Le prix moyen est le même, mais le second joueur s'arrête souvent avant la fin, parce qu'il n'a plus de quoi poser sa mise.
Et si vous ne vous arrêtez jamais, la bankroll décide d'une seule chose : quand. Sur un jeu à espérance négative, la ruine est certaine à force de jouer, et sa date moyenne se calcule aussi simplement que le reste.
La formule générale : vos mises divisées par l'avantage de la maison donnent le nombre moyen de coups avant d'être à sec. Une bankroll ne vous protège pas du résultat. Elle achète du temps, et elle en achète beaucoup moins sur certains jeux que sur d'autres.
Le budget se divise en deux : le prix et la marge
Voici l'idée qui change la façon de préparer une soirée. Sur vos trois heures de roulette, la perte moyenne est d'environ 4 mises. Mais pour finir ces trois heures neuf fois sur dix, il vous en faut 24. Les vingt autres ne servent pas à payer le casino. Elles servent à encaisser la chance, les séries de noir qui arrivent tous les soirs à quelqu'un.
C'est la différence entre l'espérance et l'écart-type, expliquée sur la page de l'espérance de gain. Sur une soirée, la chance pèse beaucoup plus lourd que l'avantage de la maison : il faut 1 368 tours sur une chance simple pour que la perte moyenne rattrape ce que la chance fait bouger. Une soirée en compte 150. Votre bankroll est donc presque entièrement une réserve contre la variance, et c'est pour ça que sa taille dépend du jeu bien plus que du prix.
Sur la même roulette, au même 2,7 %, jouer un numéro plein plutôt que le rouge fait passer le besoin de 24 mises à 113 pour la même soirée. Sur une machine à sous à volatilité moyenne, il faut 190 mises pour finir une seule heure neuf fois sur dix, quand la perte moyenne de cette heure est de 24 mises. La volatilité des machines à sous est exactement ça : une machine dont le prix est raisonnable et dont la marge est énorme.
Combien de mises pour finir sa séance
Le tableau ci-dessous donne, pour chaque jeu, le nombre de mises qu'il faut apporter pour aller au bout de la séance sans être à sec. « Finir », c'est pouvoir poser sa mise jusqu'au dernier coup prévu, sans en changer.
Vous avez 40 mises.
Coût moyen d’une heure
6,76 €
Durée moyenne avant d’être à sec, sans jamais s’arrêter
29 h 36 min
1 480 coups
Mise maximale pour finir 3 h neuf fois sur dix
8,33 €
- Finir 1 h, 9 fois sur 10 : il faut 13 mises. Vous les avez.
- Finir 1 h, 99 fois sur 100 : il faut 20 mises. Vous les avez.
- Finir 3 h, 9 fois sur 10 : il faut 24 mises. Vous les avez.
| Jeu et mise | Coups par heure | Finir 1 h, 9 fois sur 10 | Finir 1 h, 99 fois sur 100 | Finir 3 h, 9 fois sur 10 |
|---|---|---|---|---|
| Roulette européenne, chance simple | 50 | 13 mises | 20 mises | 24 mises |
| Roulette française, chance simple avec partage | 50 | 13 mises | 19 mises | 22 mises |
| Roulette américaine, chance simple | 50 | 14 mises | 21 mises | 27 mises |
| Roulette européenne, numéro plein | 50 | 51 mises | 51 mises | 113 mises |
| Blackjack, stratégie de base | 80 | environ 18 mises | environ 28 mises | environ 31 mises |
| Machine à sous, RTP 96 %, faible volatilité | 600 | 120 mises | 160 mises | 240 mises |
| Machine à sous, RTP 96 %, volatilité moyenne | 600 | 190 mises | 240 mises | 410 mises |
| Machine à sous, RTP 96 %, forte volatilité | 600 | 230 mises | 280 mises | 520 mises |
Trois choses à lire dans ce tableau.
La durée ne double pas le besoin quand elle triple. À la roulette, passer d'une heure à trois fait passer de 13 à 24 mises, pas à 39. La chance grandit comme la racine carrée du nombre de coups, et c'est elle qui fixe l'essentiel du besoin. Sur une très longue durée, c'est l'inverse : la perte moyenne finit par dominer, et la bankroll ne fait plus que la retarder.
Le numéro plein a une ligne étrange, et elle dit vrai. En une heure, vous jouez 50 tours : avec 51 mises, vous ne pouvez pas être ruiné, même sans jamais gagner. Avec 50, vous l'êtes si le numéro ne sort pas une seule fois en 50 tours, ce qui arrive un soir sur quatre. Le plein vit de rares coups à 35 contre 1, et il faut pouvoir les attendre.
Les machines jouent dans une autre catégorie. Elles ne sont pas plus chères au pourcentage que la roulette américaine, elles sont plus rapides et plus volatiles, et les deux se multiplient. Avec 100 € pour une heure, la colonne de gauche vous donne votre mise : 100 divisé par 120 donne 0,83 €, donc 0,50 € le tour sur une machine calme ; 100 divisé par 230 donne 0,43 €, donc 0,20 € sur une machine nerveuse. Les seuils de 150, 250 et 300 mises de la page RTP correspondent à la colonne du milieu, la prudence de 99 fois sur 100, arrondie à cinquante.
La méthode, en quatre décisions
Tout ce qui précède se ramène à quatre décisions, à prendre dans cet ordre, avant de s'asseoir.
Choisir le jeu et la table.
C'est la seule décision qui change le prix de chaque euro misé. Roulette française avec partage plutôt qu'américaine, blackjack joué avec le tableau de stratégie de base, machine à 96 % plutôt qu'à 92 %. Une bonne gestion de bankroll sur un mauvais jeu reste un mauvais calcul.
Fixer la durée.
Une heure, trois heures, la soirée. C'est elle qui donne le nombre de coups, donc le prix et la marge. Une durée non fixée finit toujours par être trop longue.
Diviser.
Votre bankroll divisée par le nombre de mises du tableau donne votre mise maximale. Si elle est inférieure au minimum de la table ou de la machine, le jeu est trop volatil pour ce budget : changez de jeu ou raccourcissez la séance, pas l'inverse.
Fixer la sortie.
La limite de perte, c'est la bankroll elle-même : quand elle est jouée, la séance est finie, sans retour au distributeur. Et l'heure de départ, quel que soit le solde. Ces deux règles valent plus que n'importe quel objectif de gain.
Un exemple complet. Trois heures de roulette française, sur les chances simples, à 10 € : 22 mises, donc 220 €. Le prix moyen de la soirée est de 20,27 €, la règle du partage ayant divisé l'avantage par deux. Vous venez avec 220 € pour en laisser une vingtaine en moyenne, et vous finissez vos trois heures neuf fois sur dix. Le dixième soir, vous rentrez plus tôt avec la certitude d'avoir perdu ce que vous aviez décidé de pouvoir perdre, et pas un euro de plus.
Les règles qu'on lit partout, chiffrées
La plupart des conseils de gestion de bankroll qu'on trouve en ligne sont des règles empiriques sans calcul derrière. Certaines sont utiles, d'autres sont neutres, une est dangereuse.
« Ne misez jamais plus de 1 % de votre bankroll. » Cela fait 100 mises. À la roulette, c'est plus qu'assez : vous finissez trois heures presque à coup sûr. Sur une machine à volatilité moyenne, la même règle vous laisse 47 % de chances de finir une seule heure. Une règle en pourcentage qui ne demande ni le jeu ni la durée ne veut rien dire.
« Partez quand vous avez gagné une certaine somme. » Reprenons nos trois heures de roulette européenne à 5 €, avec 200 €, et décidons de partir dès que nous sommes à +50 €. Trois soirs sur dix, l'objectif est atteint et vous partez plus tôt. La perte moyenne passe de 20,26 € à 16,88 €. Ce n'est pas l'objectif qui vous a protégé : vous avez joué 25 tours de moins en moyenne, et chaque tour coûte la même chose. L'objectif de gain est un moyen de jouer moins. C'est très bien, mais c'est tout.
« Divisez votre budget en plusieurs sessions. » Cela ne change rien au prix, qui dépend du total misé, ni à grand-chose d'autre. C'est utile pour une seule raison : une session courte se termine, et un budget découpé vous oblige à vous arrêter de temps en temps.
« Montez vos mises pour vous refaire. » C'est la seule dangereuse. Augmenter la mise après une perte, c'est raccourcir la durée de vie de votre bankroll au moment exact où elle a déjà diminué. La version organisée de cette idée s'appelle la martingale, et sa page montre comment elle finit.
Un dernier mot pour ceux qui ont lu des articles sur le critère de Kelly, la formule des joueurs professionnels pour dimensionner une mise. Elle est juste, et elle donne, pour un jeu à espérance négative, une mise optimale de zéro. C'est la réponse honnête des mathématiques. Elle ne vous empêche pas de jouer, elle vous rappelle que vous payez votre place.
Moyenne et médiane : la durée qu'on vit vraiment
La durée moyenne avant d'être à sec, mises divisées par avantage, est exacte. Elle peut pourtant tromper, et les machines à sous le montrent mieux que tout.
Avec 100 mises sur une machine à 96 %, la durée moyenne est de 2 500 tours, un peu plus de quatre heures. Mais sur la machine à volatilité moyenne, la moitié des joueurs sont à sec en moins de 56 minutes. La moyenne est tirée vers le haut par les quelques-uns qui touchent un gros lot et jouent des heures avec. Le joueur typique, lui, a vécu une heure, pas quatre.
C'est pour ça que le tableau parle de « neuf fois sur dix » plutôt que de moyenne. Il vous dit ce qui vous arrivera probablement, pas ce qui arrive à un joueur moyen qui n'existe pas. Et c'est pour ça que, sur les jeux volatils, je conseille de regarder la colonne de droite avant de choisir sa mise. Si vous voulez voir ces courbes se dessiner sous vos yeux, le simulateur de roulette rejoue mille soirées avec la bankroll et la mise de votre choix.
L'exception : le joueur qui a l'avantage
Il existe un cas où la gestion de bankroll devient une affaire de survie au sens strict, et c'est le seul où l'expression « risque de ruine » a un sens à long terme : quand le joueur a l'avantage.
Le compteur de cartes au blackjack joue un jeu à espérance positive. S'il joue assez longtemps, il gagne. Encore faut-il qu'il soit encore assis le jour où la loi des grands nombres finit son travail. Avec des mises de 10 à 80 € sur une table à 10 €, il lui faut environ 24 000 €, soit 2 400 mises minimales, pour ramener à 5 % le risque de tout perdre avant. La page sur le comptage des cartes détaille d'où vient ce chiffre.
Comparez avec le joueur ordinaire. Pour lui, le risque de ruine à long terme vaut 100 %, quelle que soit sa bankroll. Pour le compteur, il peut descendre aussi bas qu'il veut, à condition d'apporter assez. Toute la différence entre les deux tient dans le signe de l'espérance, et c'est la seule chose qu'aucune gestion de bankroll ne peut changer.
Ce que la bankroll ne remplace pas
Tout ce calcul repose sur une condition : que la bankroll soit de l'argent dont la perte ne change rien à votre mois. Un concert, un dîner, une soirée au casino, c'est le même type de dépense, et ça se prépare de la même façon. Si la somme que vous apportez n'est pas celle-là, aucun tableau ne rendra la soirée raisonnable, et la page avertissement indique où trouver de l'aide.
Faites l'essai avant votre prochaine soirée : choisissez le jeu, la durée, et divisez. Le calculateur au-dessus fait le reste.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la gestion de bankroll au casino ? C'est l'ensemble des décisions prises avant de jouer : la somme apportée, la mise par coup, la durée et le moment de partir. Elle ne change pas ce que le jeu vous coûte en moyenne, qui dépend de l'avantage de la maison, de la mise et du nombre de coups. Elle décide de combien de temps vous jouez et de vos chances de finir la soirée.
Combien miser par rapport à sa bankroll ? Cela dépend du jeu et de la durée. Pour trois heures de roulette sur les chances simples, divisez votre bankroll par 24 environ ; pour une heure de machine à sous à volatilité moyenne, par 190. Une règle fixe en pourcentage ignore ces deux paramètres et ne protège pas de la même façon d'un jeu à l'autre.
La règle des 1 % fonctionne-t-elle ? Elle donne 100 mises. C'est largement suffisant pour une soirée de roulette ou de blackjack, et insuffisant pour une heure de machine à sous volatile, où la moitié des joueurs ont tout joué en moins d'une heure. Elle ne change pas non plus ce que vous perdez en moyenne.
Quelle bankroll pour jouer à la roulette ? Pour une soirée de trois heures sur les chances simples, environ 24 mises pour finir neuf fois sur dix : 120 € à 5 € la mise, 240 € à 10 €. Sur des numéros pleins, il en faut plus de quatre fois plus pour la même soirée, au même avantage de la maison.
Quelle bankroll pour les machines à sous ? Pour finir une heure neuf fois sur dix, environ 120 mises sur une machine calme, 190 sur une machine moyenne et 230 sur une machine nerveuse ; 160, 240 et 280 pour finir 99 fois sur 100. Avec 100 €, cela fait 0,50 € le tour sur une machine calme et 0,20 € sur une machine nerveuse.
La gestion de bankroll permet-elle de gagner au casino ? Non. Aucune façon de répartir ses mises ne change l'espérance d'un jeu dont l'espérance est négative. Elle permet de choisir la durée et le risque de sa soirée, et de connaître son prix. Seul le comptage des cartes au blackjack change le signe de l'espérance.
Faut-il se fixer un objectif de gain ? Ce n'est pas nuisible, et ça réduit un peu la perte moyenne, parce que vous jouez moins de coups les soirs où il est atteint. Mais une heure de départ fait le même travail, plus sûrement. La règle qui compte vraiment est l'autre : ne jamais rajouter d'argent quand la bankroll est jouée.
Seuils du tableau : probabilité de pouvoir poser la même mise à chaque coup jusqu'à la fin de la durée, et d'en avoir encore une à la fin, calculée exactement par récurrence sur le solde pour la roulette et pour les trois machines imaginaires de la page RTP et volatilité (RTP 96 %, écarts-types de 2,9, 8,0 et 15,0 pour 1 € misé). Roulette française : le zéro rend la moitié de la mise sur les chances simples. Machines : seuils arrondis à la dizaine supérieure. Blackjack : approximation par une loi normale avec une espérance de −0,5 % et un écart-type de 1,16 mise par main, en ne comptant que le résultat net de chaque main ; un doublement ou un partage demande davantage sur la table au moment de la décision. Vitesses retenues sur tout le site : 50 tours par heure à la roulette, 80 mains au blackjack, 600 tours aux machines. Durée moyenne avant ruine : nombre de mises divisé par l'avantage de la maison (identité de Wald), exacte pour la roulette européenne et les machines. Objectif de gain : roulette européenne, 5 € sur une chance simple, 200 €, 150 tours, arrêt à +50 € ; la perte sans objectif vaut 20,26 € et non 20,27 €, parce que les rares soirées ruinées avant la fin jouent moins de tours. Médiane de 56 minutes : 559 tours sur 600 par heure. Bankroll du compteur : page sur le comptage des cartes, mêmes hypothèses. Kelly : la fraction optimale vaut l'avantage du joueur divisé par la variance, et elle est nulle ou négative dès que l'avantage l'est.
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