Probabilités au blackjack : la table complète, carte par carte

Avec un 5 ou un 6, je sautais un peu plus de quatre fois sur dix. Avec un As, moins d'une fois sur six. Les habitués de ma table le savaient sans jamais avoir vu un chiffre, et tout le reste du blackjack, la stratégie de base comme le comptage, n'est qu'une façon d'exploiter cet écart.

Les probabilités au blackjack sont plus difficiles à calculer que celles de la roulette, parce que les cartes sorties ne reviennent pas et que vos décisions changent le résultat. Mais elles se calculent, exactement, et cette page les donne toutes : vos chances de recevoir un blackjack, ce que le croupier finit par faire avec chaque carte visible, et la valeur réelle de chacune de vos mains de départ. C'est le socle du blackjack tel que je l'enseigne ici. Toutes les valeurs sont calculées pour un sabot de six jeux, le croupier restant sur 17 souple ; les hypothèses complètes sont en bas de page.

Vos chances de recevoir un blackjack

Un blackjack, c'est un As et une carte valant 10 sur vos deux premières cartes. Dans un sabot de six jeux, 312 cartes, il y a 24 As et 96 dix (les 10, valets, dames et rois). Le calcul tient en une ligne : l'As d'abord puis le dix, ou le dix d'abord puis l'As.

2 × (24 ÷ 312) × (96 ÷ 311) = 4,75 %, soit une main sur 21.

Le nombre de jeux change à peine ce chiffre : 4,83 % à un jeu, 4,75 % à huit. Il change davantage l'égalité : quand vous avez un blackjack, le croupier en a un aussi 4,56 % du temps, et la main est nulle. Au bout du compte, votre blackjack est payé 3 contre 2 une fois sur 22 environ, et c'est ce paiement qui rend au joueur 2,25 points d'avantage sur les 7,9 de départ. Le détail de cette cascade est dans la page sur l'avantage de la maison.

Deux autres fréquences de départ utiles. Quatre mains sur dix (38,5 %) commencent par un total dur de 12 à 16, les mains dont personne ne veut, et seulement une sur trois (32,5 %) par une main qu'on garde sans réfléchir : 17 ou plus en dur, 19 ou 20 souple, une paire de 9 ou de 10, un blackjack. Le blackjack n'est pas un jeu de belles mains, c'est un jeu de mains moyennes bien jouées.

Ce que fait le croupier avec chaque carte visible

Le croupier n'a aucune décision à prendre : il tire jusqu'à 17, il s'arrête. Sa main finale ne dépend donc que de sa carte visible et du hasard, et on peut la calculer exactement. Voici où il finit, pour chaque carte, en sachant qu'il n'a pas de blackjack (il a regardé sa carte cachée avant que vous jouiez).

Le croupier saute avec…

Échelle commune, de 0 à 50 %

1. le croupier est faible

   235,4 %
2. 337,4 %
3. 439,6 %
4. 541,8 %
5. 642,3 %

6. le croupier est fort

   726,2 %
7. 824,4 %
8. 922,9 %
9. 1023,0 %
10. As16,7 %

Ce tableau est la raison d'être du tableau de stratégie de base. Lisez la colonne « Saute » : elle monte de 2 à 6, puis s'effondre à 7. Avec un 6, le croupier saute quatre fois sur dix, et quand il ne saute pas, il finit souvent à 17, le total le plus faible possible. Avec un 7, il ne saute plus qu'une fois sur quatre, et il fait 17 plus d'une fois sur trois. C'est pour ça que toutes les règles de la stratégie de base ont une frontière entre le 6 et le 7 : on reste sur 13 contre un 6, on tire sur 13 contre un 7.

Trois lectures de plus. La diagonale de 7 à 10 : avec un 7, le croupier finit à 17 ; avec un 8, à 18 ; avec un 9, à 19 ; avec un 10, à 20, chaque fois plus d'une fois sur trois, parce que la carte cachée vaut 10 près d'une fois sur trois (96 cartes sur 311). L'As ensuite : il saute le moins souvent, et quand il reste, il est réparti également entre 17 et 20, ce qui en fait la pire carte pour vous même sans blackjack. Enfin la moyenne : toutes cartes confondues, le croupier saute 28 fois sur 100, et quand il reste, son total moyen est de 18,8. Un 18 n'est pas une bonne main, c'est une main médiane.

Si votre table fait tirer le croupier sur 17 souple (la variante « H17 », à lire dans les règles du blackjack), il saute un peu plus souvent, 25,9 % avec un As et 47,9 % avec un 6, mais il finit aussi plus haut quand il reste. Le bilan est contre vous : deux dixièmes de point.

Ce que vous risquez en tirant une carte

Votre probabilité de sauter sur une carte ne dépend que de votre total. Avec 12, seules les cartes valant 10 vous font sauter : 4 sur 13, soit 31 %. Puis chaque point de plus ajoute une carte fatale.

Votre total	Cartes qui vous font sauter	Probabilité de sauter sur une carte
12	les 10	31 %
13	9 et 10	38 %
14	8 à 10	46 %
15	7 à 10	54 %
16	6 à 10	62 %
17	5 à 10	69 %

Voilà le dilemme du 16 contre un 10. Tirer, c'est sauter six fois sur dix. Rester, c'est laisser le croupier faire son total, et il ne saute que 23 fois sur 100. Les deux options sont mauvaises, et la stratégie de base choisit la moins mauvaise : tirer, parce que rester sur 16 ne gagne que si le croupier saute, alors que tirer gagne aussi avec un 5 ou moins. C'est la décision où j'ai vu le plus de joueurs hésiter, et celle où l'écart entre les deux choix est le plus faible de toute la table : quelques dixièmes de point, les deux coûtant un peu plus de la moitié de la mise.

La valeur de chaque main de départ

Voici la table que les joueurs cherchent quand ils tapent « table probabilité blackjack » et qu'ils ne trouvent nulle part en français. Pour chaque main de départ et chaque carte visible du croupier, elle donne l'espérance de gain de la main jouée selon la stratégie de base, en pourcentage de la mise. +20 veut dire que, sur cent mises de 10 €, cette situation vous rapporte 200 € en moyenne ; −50, qu'elle vous en coûte 500.

Main de départ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	As
5 dur	−13	−10	−6	−2	0	−12	−19	−27	−37	−50
6 dur	−14	−11	−7	−3	−1	−15	−22	−29	−39	−52
7 dur	−11	−8	−4	−1	+3	−7	−21	−29	−37	−52
8 dur	−2	+1	+4	+7	+11	+8	−6	−21	−31	−44
9 dur	+7	+12	+18	+24	+32	+17	+10	−5	−22	−35
10 dur	+36	+41	+46	+51	+58	+39	+29	+14	−5	−25
11 dur	+47	+52	+57	+61	+67	+46	+35	+23	+9	−23
12 dur	−25	−23	−21	−17	−15	−21	−27	−34	−43	−55
13 dur	−29	−25	−21	−17	−15	−27	−32	−39	−47	−58
14 dur	−29	−25	−21	−17	−15	−32	−37	−43	−51	−61
15 dur	−29	−25	−21	−17	−15	−37	−42	−47	−54	−64
16 dur	−29	−25	−21	−17	−15	−41	−46	−51	−58	−67
17 dur	−15	−12	−8	−4	+1	−11	−38	−42	−46	−64
18 dur	+12	+15	+18	+20	+28	+40	+11	−18	−24	−38
19 dur	+39	+40	+42	+44	+50	+62	+59	+29	−2	−12
20 (10-10)	+64	+65	+66	+67	+70	+77	+79	+76	+43	+15
13 souple (As-2)	+5	+7	+10	+13	+18	+12	+5	−4	−17	−35
14 souple (As-3)	+2	+5	+8	+13	+18	+8	+1	−8	−21	−37
15 souple (As-4)	0	+3	+6	+13	+18	+4	−3	−11	−24	−40
16 souple (As-5)	−2	+1	+6	+13	+18	0	−7	−15	−27	−42
17 souple (As-6)	0	+6	+12	+18	+26	+5	−7	−15	−26	−43
18 souple (As-7)	+12	+18	+24	+30	+38	+40	+11	−10	−21	−37
19 souple (As-8)	+39	+40	+42	+44	+48	+62	+59	+29	−2	−12
20 souple (As-9)	+64	+65	+66	+67	+70	+77	+79	+76	+43	+15
2-2	−9	−3	+4	+13	+19	−1	−16	−24	−34	−48
3-3	−14	−6	+1	+10	+17	−7	−22	−29	−39	−52
4-4	−2	+1	+4	+8	+15	+8	−6	−21	−31	−44
6-6	−22	−14	−5	+4	+11	−21	−27	−34	−43	−55
7-7	−16	−7	+1	+10	+19	−9	−37	−43	−51	−61
8-8	+2	+9	+16	+23	+32	+21	−9	−41	−53	−58
9-9	+18	+24	+30	+36	+44	+40	+22	−9	−24	−38
As-As	+47	+52	+57	+61	+67	+46	+35	+23	+9	−23
Croupier, toutes cartes confondues	+9	+12	+16	+20	+23	+14	+6	−4	−17	−34

La paire de 5 n'y figure pas : elle se joue comme un 10 dur. Le 20 de deux dix et le 20 souple ont la même ligne, parce qu'on ne touche ni à l'un ni à l'autre.

Quelques lectures, parce que cette table dit beaucoup de choses en peu de place.

La pire main du jeu est le 16 dur contre un As : −67. La meilleure est le 20 contre un 8 : +79. Entre les deux, 146 points d'écart pour une même mise. Au blackjack, ce n'est pas la mise qui fait la soirée, c'est la distribution.

Un 11 contre un 6 vaut +67, un 11 contre un As vaut −23. La même main, le même double, et 90 points d'écart selon la carte d'en face. Les joueurs qui jouent « leur main » sans regarder la mienne laissaient une bonne part de ces 90 points sur la table.

Les mains de 12 à 16 sont toutes négatives, partout. Contre un 6, elles valent toutes −15 : c'est la valeur de « rester et attendre que le croupier saute », identique quel que soit votre total, puisque vous ne touchez plus à vos cartes. Contre un 10, elles vont de −43 à −58. Une main de 12 à 16, on ne la gagne pas, on la perd moins.

La ligne du bas est le résumé de la page. Contre un 2 à 8, vous êtes gagnant en moyenne, de +6 à +23. Contre un 9, un 10 ou un As, vous êtes perdant, jusqu'à −34 contre l'As. Pondérez ces dix colonnes par la fréquence des cartes, et vous retombez sur −0,6 : l'avantage de la maison. Le comptage des cartes ne fait rien d'autre que repérer les moments où le sabot déplace cette ligne du bon côté, et je l'explique dans le comptage des cartes.

Vos chances de gagner une main

Une dernière question, la plus posée et la plus mal comprise : « quelle est ma probabilité de gagner au blackjack ? » Elle a deux réponses, et il faut les deux.

Vous perdez plus de mains que vous n'en gagnez. Ce qui rattrape l'écart, c'est que vos gains ne sont pas tous de la même taille : le blackjack paie 3 contre 2, les doubles et les partages paient sur deux mises, et la stratégie de base place ces grosses mises exactement là où vous êtes favori. Les mains perdues sont nombreuses et petites, les mains gagnées un peu moins nombreuses et parfois doubles. C'est la même distinction qu'à la roulette entre probabilité de gagner et espérance, expliquée dans les probabilités du casino, appliquée à un jeu où, pour une fois, elle travaille un peu pour vous.

Un joueur qui ne double ni ne partage jamais gagne à peu près autant de mains, et perd 2,4 % de ses mises au lieu de 0,5. Il a gardé la fréquence et abandonné la taille. Si vous voulez voir cette différence sur vos propres décisions, le simulateur de blackjack distribue les mains, compare chacun de vos choix à la table ci-dessus et tient le compte de ce que vos écarts vous coûtent.

Questions fréquentes

Quelle est la probabilité d'avoir un blackjack ? 4,75 % par main dans un sabot de six jeux, soit une fois sur 21 : 2 × (24/312) × (96/311). À un seul jeu, 4,83 %. Le croupier a exactement la même probabilité, et quand vous avez tous les deux un blackjack, la main est nulle.

Quelle est la probabilité que le croupier saute ? 28 % en moyenne, mais elle dépend entièrement de sa carte visible : 42,3 % avec un 6, 41,8 % avec un 5, 35,4 % avec un 2, et seulement 23 % avec un 10 ou 16,7 % avec un As, quand il reste sur 17 souple.

Quelle est la probabilité de gagner une main au blackjack ? Environ 43 % de mains gagnées, 9 % d'égalités et 48 % de mains perdues en jouant la stratégie de base. L'avantage de la maison reste faible, 0,5 %, parce que les mains gagnées sont plus souvent payées double ou à 3 contre 2.

Quelle est la meilleure main de départ au blackjack ? Le blackjack lui-même, payé 3 contre 2. Ensuite, un 20 : il vaut entre +43 et +79 % de la mise selon la carte du croupier. Un 11 à doubler contre un 6 vient juste après, à +67 %.

Quelle est la pire main au blackjack ? Un 16 dur, surtout contre un As (−67 % de la mise) ou un 10 (−58 %). Les mains de 12 à 16 sont les seules à être perdantes contre toutes les cartes du croupier, et elles représentent près de quatre mains de départ sur dix.

Quelle est la probabilité de sauter en tirant sur 16 ? 62 % : toutes les cartes de 6 à 10 vous font dépasser 21, soit 8 valeurs sur 13. Sur 15, c'est 54 % ; sur 12, 31 %. La stratégie de base tire quand même sur 16 contre un 7 ou plus, parce que rester est encore légèrement pire.

La carte visible du croupier change-t-elle vraiment les probabilités ? C'est la seule chose qui les change. Un 11 vaut +67 % contre un 6 et −23 % contre un As. Un 18 vaut +40 % contre un 7 et −38 % contre un As. Jouer sa main sans regarder celle du croupier revient à ignorer la moitié de l'information disponible.

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Sabot de six jeux, le croupier reste sur 17 souple, vérifie son blackjack avant le jeu, blackjack payé 3 contre 2. Probabilités de blackjack et tableau du croupier : calcul exact par énumération, carte par carte, sans remise, conditionné à l'absence de blackjack du croupier. Valeur des mains de départ : calcul exact en sabot infini, stratégie de base avec doublement sur toute main de deux cartes et après partage, un seul partage, un As partagé reçoit une carte, pas d'abandon ; le blackjack du croupier est inclus (d'où −23 pour As-As et 11 dur contre un As). Fréquence des mains gagnées, nulles et perdues : simulation de 400 000 mains dans les mêmes règles. Probabilité de sauter sur une carte : proportion des 13 valeurs, arrondie à l'entier.